求不定积分∫[x²√(1-x²)]dx[没有上下限，只能是求不定积分]
解：令x=sinu，则dx=cosudu，代入原式得：
原式=∫[sin²ucos²udu=(1/4)∫sin²2udu=(1/4)∫[(1-cos4u)/2]du=(1/8)[∫du-(1/4)∫cos4ud(4u)]
=(1/8)[u-(1/4)sin4u]+C=(1/8)[arcsinx-(1/4)sin(4arcsinx)]+C
=(1/8)arcsinx-(1/16)sin(2arcsinx)cos(2arcsinx)+C
=(1/8)arcsinx-(1/8)[sin(arcsinx)cos(arcsinx)][1-2cos²(arcsinx)]+C
=(1/8)arcsinx-(1/8)[x√(1-x²)][1-2(1-x²)]+C
=(1/8)[arcsinx-x√(1-x²)+2x(1-x²)^(3/2)]+C
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
积分都满足一些基本的性质。在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
参考资料来源：百度百科——定积分
解：令x=sinu，则dx=cosudu，代入原式得：
原式=∫[sin²ucos²udu=(1/4)∫sin²2udu=(1/4)∫[(1-cos4u)/2]du=(1/8)[∫du-(1/4)∫cos4ud(4u)]
=(1/8)[u-(1/4)sin4u]+C=(1/8)[arcsinx-(1/4)sin(4arcsinx)]+C
=(1/8)arcsinx-(1/16)sin(2arcsinx)cos(2arcsinx)+C
=(1/8)arcsinx-(1/8)[sin(arcsinx)cos(arcsinx)][1-2cos²(arcsinx)]+C
=(1/8)arcsinx-(1/8)[x√(1-x²)][1-2(1-x²)]+C
=(1/8)[arcsinx-x√(1-x²)+2x(1-x²)^(3/2)]+C追问
是X平方啊
追答没错啊！是x².
x=sinu，则dx=cosudu，代入原式得：
原式=∫[sin²u[√(1-sin²u)]cosudu=∫[sin²u(cosu)cosudu=∫sin²ucos²udu
哪儿不对？
哦！没事啦！
追答如果满意，别忘了采纳。
本回答被网友采纳原式=∫[π/2，0](sint)^2(cost)^2dt
=(1/4)∫[π/2，0](sin2t)^2dt
=(1/8))∫[π/2，0](1-cos4t)dt
=(t/8)[π/2，0]-(1/32)∫[π/2，0]cos4td(4t)
=π/16-(1/32)sin4t[π/2，0]
=π/16.
人才！
你是大学老师？？
追答额当然不是，这些题目多练习就会了
