线性代数，关于行列式中的项的符号的问题 数学全书 P349

Question

我以前看的数学书没有逆序数的概念。
第一张图是我用定义推导出的项的符号，简单的说就是按照定义层层展开而已。
第二张图是关于副对角线的符号的问题。

如果按照我证明出的结论，那么副对角线的符号是 -1的n*(n+1)次幂 //因为每个元素的下标和都是n+1，共n个
但这个和书上（第二张图）产生矛盾，因为按我的方法，答案永远是正数。

目前我认为按 逆序数 和 按定义 求符号应该是想通的，本质相同，只是表达手法不同。

我不知道问题出在哪里。但我想我的思维可能是有问题的。

Answer 1

这样确定行列式中一项的正负很麻烦
建议你补一下逆序数的方法 (简单哈)
a11a23a32a44
行标已是自然序, 列标排列 1324 的逆序数为 0+1+0+0 = 1 (奇数)
故此项带负号.

第二题列标排列 为 n(n-1)....21
逆序数为 n-1 + n-2 +....+1 = n(n-1)/2

按第一行展开 (-1)^[1+n]
再按第一行展开, 应该是 (-1)^(1 + n-1) 而不是 (-1)^(2+n-1), 应该是错在这里

Answer 2

第一个结果不对，a11a23a32a44的符号是负。错误之处是M11是3阶行列式，元素a23所在位置是第一行第二列，其在原4阶行列式中才是二行三列，所以2+3实为1+2。

4阶行列式的副对角线是a14a23a32a41，不是a11a23a32a44，你一开始讨论的结果与副对角线有何关系？

Answer 3

Aij是带符号的，Mij是不带符号的，Aij=（-1）^(i+j)Mij