关于概率论的一道题目

Question

随机变量X1 X2互相独立，概率密度函数都是f（x）=e^-x （x〉0）

随机变量Z=X1/X2 的概率密度函数是？

谢谢

Answer 1

完整解答：

为方便起见，我们用Y、X表示X1、X2，于是f(x)=e^(-x), f(y)=e^(-y)。由于x、y
相互独立，故它们的联合概率密度为f(x, y)=f(x)f(y)=e^(-x-y)。

由于Z=Y/X (用Z＝X/Y结果也一样)，Z的分布函数F(z)=P(Z<z)=∬e^(-x-y)dxdy, 其中，y由0到zx，x由0到∞。于是，F(z)=z/(1+z)。对F(z)求关于z的倒数，得到

f(z)=F'(z)=1/(z+1)^2, 0<z<∞.

Answer 2

我个人感觉：因为它们是两个独立的随机变量，所以它们的概率密度函数的积就等于它们两概率密度函数的乘积