高等数学曲线围绕y轴旋转一周公式Vy=∫<a,b> 2πxf(x) dx的适用范围是什么呢？

Question

如图所示，当曲线为偶函数、且为对称区间时，定积分内为奇函数，所以体积数值上等于0？这肯定不对呀，所以想问问这个公式什么情况下才适用呢？

Answer 1

没有太多的使用限制。关键有两点：

第一、旋转轴两边都有曲线的时候，先要将旋转轴左边的那一部分镜像到右边，整合起来计算旋转部分。如下图，需要旋转的是右边红加绿的块。至于其曲线分段什么的，就得分段计算了。

第二、无论何时都要计算实际旋转的那一部分的高度。这个2πxf(x) dx的f(x)，不如改成H(x)。

因为在闭合曲线的时候，下部是空的。当然可以做成两部分的差的形式，随你了。

Answer 2

假设求y=x²与y=1截得的曲线绕y轴旋转形成的旋转体体积。

最终只用半边曲线旋转来计算。

如果按照你图中的曲线绕y轴旋转一周，那么就是算【两个】体积了，然后不用绝对值正负抵消掉了，当然不对了。

追问

非常感谢！我想再请教一下，对于闭合函数和非闭合函数而言，这个公式都适用吗？还是这个公式只能用来处理非闭合函数呢？比如一个中心在坐标原点的椭圆形绕y轴旋转，就可以直接带入公式Vy = ∫ π（f(y) ）^2 dy而不用考虑图像和正负问题。实在令我很困扰

追答

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