∫(上限2,下限-2)cos^2(x)dx,为什么不能直接积分？？？？

Answer 1

当然可以直接积分了。
∫cos^2(x)dx=∫(cosx)^2dx
=∫(cos2x+1)/2dx
=(sin2x)/4+x/2+C
故∫(上限2,下限-2)cos^2(x)dx
=2∫(上限2,下限0)cos^2(x)dx
=2*(sin4/4+2/2)
=2+(sin4)/2

追问

具体题目：∫（上限为2，下限为-2）√（4-x^2)再乘以（sinx+1)dx,能解释一下这题中的cos^2(t)吗，谢谢

追答

∫（上限为2，下限为-2）√（4-x^2)再乘以（sinx+1)dx,
=∫（上限为2，下限为-2）√（4-x^2)sinxdx+∫（上限为2，下限为-2）√（4-x^2)dx,
=0+2∫（上限为2，下限为0）√（4-x^2)dx 令x=2sint，则
=2∫（上限为π/2，下限为0）2cost*2costdt
=4 ∫（上限为π/2，下限为0）2cos^2 t dt
=4∫（上限为π/2，下限为0）(cos2t+1)dt
=2sin2t|(上限为π/2，下限为0)+4*π/2
=2π

追问

辛苦了，谢谢，你能告诉我题中的cos^2(t)为什么要化成cos2t+1除以2吗，为什么不能直接积分

追答

哦，不化成单一的三角函数是不能直接积分的，所以要利用三角恒等变形化为最简形式才可以积分。因为我们只学过部分简单的函数才能积分。并不是什么函数都可以积分出原函数的。

Answer 2

楼主，∫cos(x^2)dx以及∫sin(x^2)dx等积分都是属于不可积类型的积分，不会出现单纯的求此类积分的题，遇到包含cos(x^2)的函数用别的方法求解