【高一数学】已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(√3)cos2x,x∈[π/4,π/2]

Question

1：求f(x)的最大值和最小值。
2：|f(x)-m|＜2在x∈[π/4,π/2]上恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：
（1）
f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x
=1-cos(2(π/4+x))-√3cos2x
=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x
=1+sin2x-√3cos2x
=1+2sin(2x-π/3)
x∈[π/4，π/2],则2x-π/3∈[π/6,2π/3]
所以sin(2x-π/3)∈[1/2,1]
所以f(x)∈[2,3]
即f(x)的最大值为3，最小值为2。
（2）
由|f(x)-m|<2得-2+f(x)<m<2+f(x)
要使-2+f(x)<m<2+f(x)恒成立，则m要大于-2+f(x)的最大值，小于2+f(x)的最小值，即
有（1）可知，-2+f(x)的最大值为1，2+f(x)最小值为4
所以 1<m<4

Answer 2

解:
1
两倍角公式: 1-cos2a=2sin²a
∴f(x)=1-cos(2x+π/2)-√3cos2x [j将cos(2x+π/2)和差化积出来]
=sin2x-√3cos2x+1
=2[sin2xcosπ/3-sinπ/3cos2x]+1
=2sin(2x-π/3)+1
x∈[π/4,π/2] 2x∈[π/2,π] 2x-π/3∈[π/6,2π/3]
∴ 2x-π/3=π/2 f(x)有最大值=2×1+1=3
2x-π/3=π/6 ,f(x)有最小值=2×1/2+1=2
函数的最大值3,最小值2.
2
1已知2≤f(x)≤3
记t=f(x) t∈[2,3]
对于|t-m|<2,亦即 (t-m)²<4,(t-m)²-4<0 恒成立
亦即g(t)=(t-m)²-4 在区间[2,3]恒小于0
∵g(t)抛物线开口向上,对称轴为 t=m
①当 m≤2时,g(3)<0
即 (3-m)²-4<0 ,|3-m|<2 1<m<5
即 1<m≤2
②当m≥3时,g(2)<0,
即 (2-m)²-4<0 ,|2-m|<2 0<m<4
即 3≤m<4
③ 2<m<3时,g(2)<0,g(3)<0
解得 1<m<5 0<m<4,
即 1<m<4
综合 m∈(1,4)

Answer 3

解：(1)
由题知，f(x)=1-cos(2x+π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
由x∈[π/4,π/2] 。所以，π/6≤2x-π/3≤2π/3。
所以，当2x-π/3=π/2，即x=5π/12时，函数有最大值3；
当2x-π/3=π/6，即x=π/4时，函数有最小值2。
(2)
由(1)知，2≤f(x)≤3，记t=f(x)。有|t-m|＜2，即(t-m)^2<4，t^2-2mt+m^2-4<0，
其中t∈[2,3]。我们可以将问题看作二次函数g(t)=t^2-2mt+m^2-4在区间[2，3]上函数值小于0的问题。 即有g(2)<0,g(3)<0，得m^2-4m<0， 0<m<4;
m^2-6m+5<0，1<m<5.
综上述，m∈(1,4)

Answer 4

f(x)=1-cos(π/2+2x)-(√3)cos2x=1+sin2x-(√3)cos2x=2sin(2x-π/3)-1.
所以最大值为3，最小值为2。
f(x)属于[2，3]，-2<f(x)-m<2,所以1<m<4