高数无穷级数问题！

Question

判断级数的敛散性：n=1∑∞（2n/3n+1)的n次方。
如果用正项级数的比值判别法求的极限值小于1，从而得出该级数收敛。但是参考书上说对正项级数设p、q分别为分母和分子关于n的最高次数，若p-q＞1，则级数收敛；若p-q≤1，则级数发散。而这个题用这种方法求的话p-q=n-n=0小于1，是发散的。这两种方法矛盾……
到底哪儿出错了？这是课本上的习题，答案是收敛。

Answer 1

因为这里分子分母n的次数是n，与n有关，并不是常数
例如1+0.5^2+0.5^3+……收敛，但是1/2可以写成n/2n，利用上面的方法就会得到发散，原因就在于这里的次数与n有关

对正项级数设p、q分别为分母和分子关于n的最高次数，若p-q＞1，则级数收敛；若p-q≤1，则级数发散。而这个题用这种方法求的话p-q=n-n=0小于1，是发散的。
这个东西的本质是考虑级数1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s + ……的收敛性
当0≤s≤1时级数发散，当s>1时级数收敛
当n充分大之后，所需要判别的级数就近似于n^(q-p)+(n+1)^(q-p)+……
而你所给的级数次数与n有关，它就不会近似于n^(q-p)，

Answer 2

还是以书上的为准吧，如果把题目修改为（4n/3n+1)^n,估计应该就是发散吧，你可以从另一个角度考虑，当n趋向于无穷时，n很大，3n+1约等于3n，这样题目就变为了（2/3)^n，2/3小于1，当然是收敛的，而上边的就是（4/3)^n，4/3大于1，当然是发散的。课本上的东西是死的，要学会运用，如果这是个填空题，可以很直观的看出的，也不用怎么计算。你看看参考书上的有没有条件限制什么的。

Answer 3

还是应该用审敛法判断：（2n/3n+1)^n=(2/3)^n/[1+(1/3n)]^n
用极限审敛法：n=1∑∞（2n/3n+1)^n与n=1∑∞（2/3)^n 具有相同的歛散性.所以原级数收敛。

Answer 4

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